콘크리트 구조물의 사용한계상태 기반 균열제어

지속하중조합이므로 한계균열폭 0.3 mm인 E등급

① 재료강도

f_ck = 30 N/mm², f_y = 400 N/mm²

f_cm = f_ck + Δf =30+4 = 34 N/mm² (f_ck ≤ 40 N/mm²)

$f_{ctm}=0.3\times f_{cm}^{\frac{2}{3}}=0.3\times {\left(30+4\right)}^{\frac{2}{3}}=3.15{\text{N/mm}}^2$

E_s = 2×10⁵ N/mm², $E_c=8,500\sqrt[3]{f_{cm}}=8,500\sqrt[3]{34}=27,500{\text{N/mm}}^2$

n = E_s/E_s = 7.3

② 사용철근량

A_s = D16@100 mm = 1,986 mm²

ρ = A_s/bd = 1,986/(1,000×192) = 0.0103

③ 단면특성

b = 1,000mm, h = 250mm, d = 192mm

비균열 단면2차모멘트

$I_g=\frac{b{h}^3}{12}=\frac{1,000\times {250}^3}{12}=1,302\times {10}^6{\text{mm}}^4/m$

지속하중에 의한 모멘트

M_sus = 85×10⁶ N.mm

슬래브 인장 연단의 응력

$f_b=\frac{M}{I_g}y=\frac{85\times {10}^6\times 125}{1,302\times {10}^6}=8.16{\text{N/mm}}^2$

f_b > f_ctm (=3.15 N/mm²)이므로 단면에는 균열이 발생

① 크리프가 발생하지 않는 상태

중립축 깊이비 k

$\begin{array}{ll}k\hfill & =\sqrt{{\left(n\rho \right)}^2+2n\rho }-n\rho \hfill \\ \hfill & =\sqrt{{\left(7.3\times 0.0103\right)}^2+2\left(7.3\right)\left(0.0103\right)}-7.3\left(0.0103\right)\hfill \\ \hfill & =0.316\hfill \end{array}$

압축 연단 콘크리트 응력

$\begin{array}{ll}{f}_c\hfill & =\frac{2M}{\left(1-\frac{k}{3}\right)bcd}=\frac{2\times 85\times {10}^6}{0.895\left(1000\right)\left(60.7\right)\left(192\right)}\hfill \\ \hfill & =16.3{\text{N/mm}}^2\hfill \end{array}$

철근 응력

$\begin{array}{ll}{f}_s\hfill & =\frac{M}{A_s\left(1-\frac{k}{3}\right)d}=\frac{85\times {10}^6}{1,986\left(0.895\right)\left(192\right)}\hfill \\ \hfill & =249{\text{N/mm}}^2\hfill \end{array}$

② 지속하중에 의해 모든 크리프가 발생한 상태 콘크리트의 최종 크리프 계수 ψ(∞,14) = 2.2; 습도가 높은 임해 지역 시공 및 2주후 거푸집 제거

콘크리트의 유효 탄성계수

$\begin{array}{ll}{E}_{ce}\hfill & =\frac{\left(M_d+M_l\right)E_c}{M_l+\left(1+\psi \right)M_d}=\frac{\left(0.15+0.85\right)\left(27,500\right)}{0.85+\left(1+2.2\right)\left(0.15\right)}\hfill \\ \hfill & =20,680{\text{N/mm}}^2\hfill \end{array}$

유효탄성계수비 n_e = E_s/E_ce = 9.7

중립축 깊이비 k=0.354가 되어 중립축 깊이 c = 68 mm

압축 연단 콘크리트 응력

$f_c=\frac{2\times 85\times {10}^6}{0.882\left(1000\right)\left(68\right)\left(192\right)}=14.8{\text{N/mm}}^2$

철근 응력

$f_s=\frac{85\times {10}^6}{1,986\left(0.882\right)\left(192\right)}=253{\text{N/mm}}^2$

$\begin{array}{ll}{d}_{cte}\hfill & =\min \{\begin{array}{l}2.5\left(h-d\right)=2.5\left(250-192\right)=145\hfill \\ \left(h-c\right)/3=\left(250-68\right)/3=62.2\hfill \end{array}\hfill \\ d_{cte}\hfill & =62.2\text{mm}\hfill \end{array}$

${\rho }_e=\frac{A_s}{A_{cte}}=\frac{A_s}{d_{cte}\times b}=\frac{1,986}{62.2\times 1,000}=0.0319$

$l_{r,\max }=\frac{d_b}{3.6{\rho }_e}=\frac{15.9}{3.6\times 0.0319}=138\text{mm}$; 2012년 도로교설계기준

$\begin{array}{ll}{l}_{r,\max }\hfill & =3.4c_c+0.425k_1{k}_2\frac{d_b}{{\rho }_e}\hfill \\ \hfill & =3.4\times 50+0.425\left(0.8\right)\left(0.5\right)\times \frac{15.9}{0.0319}\hfill \\ \hfill & =254.8\text{mm}\hfill \end{array}$; 2014년 도로교설계기준-부분개정

유효탄성계수비 n_e = E_s / E_ce = 9.7 와 철근응력 f_so = 253 N/mm²을 적용

$\begin{array}{ll}{\in }_{sm}-{\in }_{cm}\hfill & =\frac{f_{so}}{E_s}-\frac{0.4f_{ct}\left(1+n{\rho }_e\right)}{E_s{\rho }_e}\hfill \\ \hfill & =\frac{253}{200,000}-\frac{0.4\left(3.15\right)\left(1+9.7\times 0.0319\right)}{200,000\times 0.0319}\hfill \\ \hfill & =0.00152\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{w}_k\hfill & =l_{r,\max }\left({\in }_{sm}-{\in }_{cm}\right)=138\times 0.00152\hfill \\ \hfill & =0.21\text{mm}\hfill \end{array}$; 2012년 도로교설계기준

$\begin{array}{ll}\hfill & w_k=l_{r,\max }\left({\in }_{sm}-{\in }_{cm}\right)=255\times 0.00152\hfill \\ \hfill & =0.388\text{mm}\hfill \end{array}$; 2014년 도로교설계기준-부분개정

예제의 바닥 슬래브에서 예상되는 균열폭은 2012년 도로교설계기준(한계상태설계법)의 균열간격을 이용하면 0.21 mm로서 도로교설계기준(한계상태설계법)의 한계균열폭의 지속하중조합에 해당하는 0.3 mm보다 작으므로 규정에 적합하다. 그러나, 2014년 도로교설계기준(한계상태설계법) 부분개정의 균열간격을 이용하면 0.388 mm로서 한계균열폭을 초과하지만 이 값은 지속하중조합보다 큰 표준하중조합에 의해 계산된 균열폭으로서 지속하중의 크기가 표준하중의 15%에 해당하기 때문에 적합하다고 할 수 있다.

$\begin{array}{ll}{E}_s\hfill & =200,000{\text{N/mm}}^2\hfill \\ f_{cu}\hfill & =f_{ck}+\Delta f=30+4=34{\text{N/mm}}^2\hfill \\ E_c\hfill & =8,500\sqrt[3]{f_{cu}}=8,500\sqrt[3]{34}=27,537{\text{N/mm}}^2\hfill \\ E_{ci}\hfill & =1.18E_c=32,494{\text{N/mm}}^2\hfill \\ n\hfill & =\frac{E_s}{E_c}=\frac{200,000}{27,537}=7.3,\hfill \\ n_i\hfill & =\frac{E_s}{E_{ci}}=\frac{200,000}{32,494}=6.2\hfill \\ f_r\hfill & =0.63\lambda \sqrt{f_{ck}}=0.63\times 1.0\times \sqrt{30}=3.45{\text{N/mm}}^2\hfill \end{array}$

A_s (10−D16) = 1,986 mm², d_b = 15.9 mm

① 전단면2차모멘트

철근의 환산단면적

n_i A_s = 6.2×1,986 = 12,313.2mm²

비균열 환산단면에 대한 해석으로 단면 상단으로부터의 중립축 거리 y₀ = 125 mm

전단면2차모멘트 I_g = 1,302×10⁶ mm⁴

② 균열단면2차모멘트

균열 환산단면에 대한 해석으로 단면 상단으로부터의 중립축 거리 y₀ = 57.6 mm

균열단면2차모멘트 I_cr = 286×10⁶ mm⁴

단면 총 높이 h_t = 250 mm

$M_{cr}=\frac{f_r{I}_g}{h_t-y_o}=\frac{3.45\left(1,320\times {10}^6\right)}{250-125}=36.43\text{kN}\cdot \text{m}$

$\begin{array}{ll}{M}_s\hfill & =85\text{kN}\cdot \text{m}\text{> }{M}_{cr}\hfill \\ f_{so}\hfill & =n_i\frac{M_s}{I_{cr}}\left(d-y_o\right)=6.2\times \frac{85\times {10}^6}{286\times {10}^6}\times \left(192-57.6\right)\hfill \\ \hfill & =247.7{\text{N/mm}}^2\hfill \end{array}$

균열이 발생한 직후 균열면에서 계산한 철근응력

$\begin{array}{ll}{f}_{sr}\hfill & =n_i\frac{M_{cr}}{I_{cr}}\left(d-y_o\right)\hfill \\ \hfill & =6.2\times \frac{36.43\times {10}^6}{286\times {10}^6}\times \left(192-57.6\right)\hfill \\ \hfill & =106.1{\text{N/mm}}^2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{d}_{cte}\hfill & =\min \{\begin{array}{l}2.5\left(h-d\right)=2.5\left(250-192\right)=145\hfill \\ (h-x)/3=\left(250-57.6\right)/3=64.13\hfill \end{array}\hfill \\ d_{cte}\hfill & =64.13\text{mm}\hfill \\ A_{cte}\hfill & =b\times d_{cte}=1,000\times 64.13=64,130{\text{mm}}^2\hfill \\ {\rho }_e\hfill & =\frac{A_s}{A_{cte}}=\frac{1,986}{64,130}=0.031\hfill \end{array}$

5 (c_c + d_b/2) = 5 (42.1 + 15.9/2) = 50.25 mm

부착된 철근의 중심간격은 100 mm로서 250.25 mm 이하이므로

$\begin{array}{ll}{l}_s\hfill & =2c_c+\frac{0.25k_1{k}_2{d}_b}{{\rho }_e}\hfill \\ \hfill & =2\times 42.1+\frac{0.25\times 0.8\times 0.5\times 15.9}{0.031}=135.5\text{mm}\hfill \end{array}$

여기서 k₁은 0.8, k₂는 0.5를 사용

$\begin{array}{ll}{\in }_{sm}-{\in }_{cm}\hfill & =\frac{f_{so}}{E_s}\left[1-{\beta }_1{\beta }_2\left(1+n_i{\rho }_e\right){\left(\frac{f_{sr}}{f_{so}}\right)}^2\right]\ge 0.6\frac{f_{so}}{E_s}\hfill \\ \hfill & =\frac{247.7}{200,000}\left[1-1.0\times 1.0\times \left(1+6.2\times 0.031\right){\left(\frac{106.1}{247.7}\right)}^2\right]\ge 0.6\times \frac{247.7}{200,000}\hfill \\ \hfill & =0.9676\times {10}^{-3}\ge 0.7431\times {10}^{-3}\hfill \end{array}$

여기서 β₁은 1.0, β₂는 1.0을 사용

$\begin{array}{ll}{w}_d\hfill & =k_{st}{w}_m=k_{st}{l}_s\left({\in }_{sm}-{\in }_{cm}\right)\hfill \\ \hfill & =1.7\times 135.5\times 0.9676\times {10}^{-3}=0.223\text{mm}\hfill \end{array}$

여기서 k_st는 최대균열폭을 계산하기 위해 1.7을 사용

간접균열제어는 최소철근량 규정을 만족한 상태에서만 적용이 가능하며, 이에 따른 콘크리트의 인장영역 면적은 균열 발생 직전의 인장 영역이므로 바닥 슬래브 단면의 절반에 해당하므로, $A_{ct}=1,000\times \frac{250}{2}=125,000{\text{mm}}^2$, 축력이 작용하지 않으므로 k_c = 0.4(1–0)=0.4, 깊이가 300 mm 이하인 직사각형 단면이므로 k = 1.0을 적용한다.

최소철근량 결정에 필요한 철근 응력의 크기는 제약 조건이 없다면 항복강도로 취할 수 있다. 그러나, 이 바닥판 슬래브에서는 간접균열제어 규정에 적합하도록 Table 2에 따라 D16 철근의 응력을 240 N/mm²로 제한하거나, 또는 100 mm 간격에 부합하는 320 N/mm²로 정해야 하는데, 이 예제에서는 엄격한 설계를 위해서 240 N/mm²로 산정한다.

따라서, 소요 최소철근량

$A_{s,\min }=\frac{0.4\left(1.0\right)\left(3.15\right)\left(125,000\right)}{240}=667{\text{mm}}^2/\text{m}$이 되고, 예제 단면에 배치된 철근량 A_s = 1,986 mm²/m는 최소 철근량 A_s,min보다 많기 때문에 적합한 설계라고 할 수 있으며, 간접균열제어 규정의 적용 가능하다.

15%에 해당하는 활하중과 85%에 해당하는 고정하중을 모두 사용하중으로 고려한 상태에 대해서 철근의 응력을 계산한 결과는 249 N/mm²이므로, 이 응력값을 기준으로 Table 2의 최대철근지름과 최대철근간격을 검토하면 최대철근지름은 16 mm 이하, 최대철근간격은 철근 응력 상태에 따라서 선형 보간을 하면 190 mm 이하를 만족하면 된다.

따라서, 예제의 바닥 슬래브에 사용된 철근은 D16이며, 철근이 100 mm 간격으로 배치된 상태이기 때문에 최대철근간격 규정을 만족하므로 간접균열제어 규정에 적합하다.

최외측 인장철근과 콘크리트 표면사이의 최소 두께 c_c는 50 mm, 습윤환경에 노출되어 있으므로 κ_cr은 210, 사용하중에 의해 철근에 발생하는 응력 f_s는 247.7 N/mm²이므로, 간접균열제어를 위한 철근간격 s는 다음과 같다.

계산된 값 중에서 작은 값 이하여야 하므로 최대철근간격은 192.9 mm이며, 콘크리트 인장 연단에서 가장 가까이 배치되는 철근의 중심 간격 s는 100 mm로서 계산된 값보다 작으므로 적합하다.